主成分分析与因子分析及SPSS实现实例讨论
方法
(一)问题提出
男子十项全能比赛包含100米跑、跳远、跳高、撑杆跳、铅球、铁饼、标、400米跑、1500米跑、110米跨栏十个项目,总分为各个项目得分之和。为了分析十项全能主要考察哪些方面的能力,以便有针对性的进行训练,研究者收集了134个顶级运动员的十项全能成绩单,将通过因子分析来达到分析目的。
(二)分析过程
变量视图:
数据视图(部分):
菜单选择(分析->降维->因子分析):
打开因子分析的主界面,将十项成绩选入”变量“框中(不要包含总分),如下:
点击”描述“按钮,打开对话框,选中”系数“和”KMO和Bartlett球形度检验“,如图。
下图相关解释:
”系数“:为变量之间的相关系数阵列,可以直观的分析相关性。
”KMO和Bartlett球形度检验“:用于定量的检验变量之间是否具有相关性。
点击”继续“,回到主界面,点击”抽取“,打开对话框。”方法“ =>”主成分“,”输出“=>”未旋转的因子解“和”碎石图“,”抽取“=>”基于特征值“,其余选择默认。
解释:
①因子抽取的方法:选取默认的主成分法即可,其余方法的计算结果可能有所差异。②输出:”未旋转的因子解”极为主成分分析结果。碎石图有助于我们判断因子的重要性(详细介绍见后面)。③抽取:为抽取主成分(因子)的方法,一般是基于特征值大于1,默认即可。点击”继续“,回到主界面,点击”确定“,进入分析。输出的主要表格如下:
(1)相关性检验
因子分析要求变量之间有相关性,所以首先要进行相关性检验。首先输出的是变量之间的相关系数矩阵:
可以直观的看到,变量之间有相关性。但需要检验,接着输出的是相关性检验,如图。图中有两个指标:第一个是KMO值,一般大于0.7就说明不了之间有相关性了。第二个是Bartlett球形度检验,P值<0.001。综合两个指标,说明变量之间存在相关性,可以进行因子分析。否则,不能进行因子分析。
(2)提取主成分和公因子
接下来输出主成分结果,如图。这就是主成分分析的结果,表中第一列为10个成分;第二列为对应的”特征值“,表示所解释的方差的大小;第三列为对应的成分所包含的方差占总方差的百分比;第四列为累计的百分比。一般来说,选择”特征值“大于1的成分作为主成分,这也是SPSS默认的选择。
在本例中,成分1和2的特征值大于1,他们合计能解释71.034%的方差,还算不错。所以我们可以提取1和2作为主成分,抓住了主要矛盾,其余成分包含的信息较少,故弃去。
下面,输出碎石图,如下图。碎石图来源于地质学的概念。在岩层斜坡下方往往有很多小的碎石,其地质学意义不大。碎石图以特征值为纵轴,成分为横轴。前面陡峭的部分特征值大,包含的信息多,后面平坦的部分特征值小,包含的信息也小。由图直观的看出,成分1和2包含了大部分信息,从3开始就进入平台了。
接下来,输出提取的成分矩阵。表中的数值为公因子与原始变量之间的相关系数,绝对值越大,说明关系越密切。公因子1和9个运动项目都正相关(注意跑步运动运动的计分方式,时间越短,分数越高),看来只能称为“综合运动”因子了。公因子2与铁饼、铅球正相关,与1500米跑、400米跑负相关,这究竟代表什么意思呢?看来只能成为“不知所云”因子了。
(三)因子旋转
前面提取的两个公因子一个是大而全的“综合因子”,一个不知所云,得到这样的结果,无疑是分析的失败。不过,不要灰心,我们可以通过因子的旋转来获得更好的解释。在主界面中点击“旋转”按钮,打开对话框,“方法”=>“最大方差法”,“输出”=>“旋转解”。
点击“继续”,回到主界面点击“确认”进行分析。输出结果如下图。这是选择后的成分矩阵。经过旋转,可以看出:公因子1得分越高,所有的跑步和跨栏成绩越差,而跳远、撑杆跳等需要助跑类项目的成绩也越差,所以公因子1代表的是奔跑能力的反向指标,可称为“奔跑能力”。公因子2与铁饼和铅球的正相关性很高,与标、撑杆跳等需要上肢力量的项目也正相关,所以该因子可以成为“上肢力量”。经过旋转,可以看出公因子有了更合理的解释。
(四)结果的保存
在最后,我们还要将公因子储存下来供后续使用。点击“得分”按钮,打开对话框,选中“保存为变量”,方法采用默认的“回归”方法,同时选中“显示因子得分系数矩阵”。
SPSS会自动生成2个新变量,分别为公因子的取值,放在数据的最后。同时会输出一个因子系数表格:
由上图,我们可以写出公因子的表达式(用F1、F2代表两个公因子,Z1~Z10分别代表原始变量):
F1 = -0.16*Z1+0.161*Z2+0.145*Z3+0.199*Z4-0.131*Z5-0.167*Z6+0.137*Z7+0.174*Z8+0.131*Z9-0.037*Z10
F2同理,略去。
注意,这里的变量Z1~Z10,F1、F2不再是原始变量,而是标准正态变换后的变量。
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