怎麼化簡有理式

第二部分：含有單項式因子的二項式或多項式

第1步：觀察題目。

a²+b²叫做a、b的平方和。 在有理式中，這個式子已經是簡單了， 無法進行化簡。 如果具體數據計算，還可以進行下去。

如果表達式的一部分是單項式，而另一部分是二項式或多項式，那麼就需要你判斷能否通過在分子和分母中同除一個單項式來進行化簡。

在本文中，“單”代表“一個”，“二”代表兩個，“多”代表“兩個以上”。

例:

(3x)/(3x + 6x2)

第2步：提取公因式。

如果式子中的每一項都含有一個相同的變量，那麼這個變量就可以看作是這個式子的一個因子。

只有當式子中的每一項都含有該變量時這個做法纔是對的： x/x3 – x2 + x = (x)(x2 – x + 1)

如果式子中有一項不含這個變量，就不能提取公因式： x/x2 + 1

例:

x/(x + x2) = [(x)(1)] / [(x)(1 + x)]

第3步：將常數項的公因子也提取出來。

如果代數式中的所有常數項含有公因數，那麼就將分子和分母中的每一項都除以這個公因數。

如果有一個常數項能夠被其他所有項整除，那麼這一項就是所有項的最大公因數: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]

只有當式子中的所有項都含有這個公因數時，這樣的作法纔是正確的: 9 / (6 – 12) = 3 * [3 / (2 – 4)]

如果其中有不含這個公因數的項，那就不能化簡。: 5 / (7 + 3)

例:

3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]

第4步：提出公因式。

將化簡過後的變量和常數項重新組合在一起，寫出公因式的形式。將分子和分母同時提出這個公因式，留下不能再被進一步化簡的部分。

例:

(3x)/(3x + 6x2) = [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)]

第5步：寫出最後的答案。

將提取出的公因式約掉得到的就是化簡好的有理式。

例:

[(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)] = 1/(1 + x)

第三部分：含有二項式因子的二項式或多項式

第1步：觀察題目。

a²+b²叫做a、b的平方和。 在有理式中，這個式子已經是簡單了， 無法進行化簡。 如果具體數據計算，還可以進行下去。

如果有理式中不包含單項式因子，那麼就需要從分子和分母中分解出二項式因子。

在本文中，“單”代表“一個”，“二”代表兩個，“多”代表“兩個以上”。

例:

(x2 - 4) / (x2 - 2x - 8)

第2步：將分子分解成二項式相乘的形式。

因式分解時你必須要決定可能的關於x的分解形式。

例:

(x2 – 4) = (x - 2) * (x + 2)

爲了求出關於x的解，我們需要把關於x的項放到等式一邊，常數項放到等式另外一邊: x2 = 4

兩邊開根號，將x化爲一次項。: √x2 = √4

注意任何一個數開平方根都可以得到一個正根和一個負根，因此，x的解爲: -2, +2

根據上面得到的結果，我們可以將(x2 – 4)

進行因式分解化爲: (x - 2) * (x + 2)

通過將分解好的多項式乘回去可以檢查分解的結果正確與否。如果你對結果的正確性沒有自信的話，就把多項式乘回去，看看是不是和原來的式子一致。

例:

(x - 2) * (x + 2) = x2 + 2x - 2x – 4 = x2 – 4

第3步：同樣將分母也分解爲二項式相乘的形式。

同樣你需要求出這個等式中x的解。

例:

(x2 - 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)

爲了求解x，我們將常數項放到等式一邊，含x的項放在等式另一端。: x2 ? 2x = 8

將x的一次項係數除二，然後再兩端加上配方所需的常數: x2 ? 2x + 1 = 8 + 1

將等式化簡爲完全平方式的形式: (x ? 1)2 = 9

兩邊同時開根號: x ? 1 = ±√9

求得x的解: x = 1 ±√9

對於二次多項式來說，x有兩個可能的解。

x = 1 - 3 = -2

x = 1 + 3 = 4

因此, (x2 - 2x – 8)

可以被分解爲 (x + 2) * (x – 4)

將分解後得到的式子乘回去進行檢查。如果你對得到的答案沒有把握的話，就把分解後的式子乘回去，看看能不能得到原來的表達式。

例:

(x + 2) * (x – 4) = x2 – 4x + 2x – 8 = x2 - 2x - 8

第4步：約掉公因式。

找到分子和分母之間的公因式，將公因式提取出來，留下不含公因式的有理式。

例:

[(x - 2)(x + 2)] / [(x + 2)(x – 4)] = (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)]

第5步：寫出答案。

將公因式約掉後就可以得到化簡後的答案。

例:

(x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)] = (x – 2) / (x – 4)

你需要準備

計算器

鉛筆

紙

參考

http://daphne.palomar.edu/mmumford/50/notes/Chap9.pdf

http://www.purplemath.com/modules/rtnldefs2.htm

http://www.mathportal.org/calculators/solving-equations/quadratic-equation-solver.php

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx#Pre_RatExp_Ex1_a

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分式的定義：

一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱爲有理式。

注：

（1）分式的分母中必須含有字母；

（2）分母的值不能爲零，如果分母的值爲零，那麼分式無意義。

分式的概念包括3個方面：

①分式是兩個整式相除的商式，其中分子爲被除式，分母爲除式，分數線起除號的作用；

②分式的分母中必須含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，這是區別整式的重要依據；

③在任何情況下，分式的分母的值都不可以爲0，否則分式無意義。這裏，分母是指除式而言。而不是隻就分母中某一個字母來說的。也就是說，分式的分母不爲零是隱含在此分式中而無須註明的條件。

分式有意義的條件：

（1）分式有意義條件：分母不爲0；

（2）分式無意義條件：分母爲0；

（3）分式值爲0條件：分子爲0且分母不爲0；

（4）分式值爲正(負)數條件：分子分母同號時，分式值爲正；分子分母異號時，分式值爲負 。

分式的區別概念：

分式與分數的區別與聯繫：

a.分式與分數在形式上是一致的，都有一條分數線，相當於除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；

b.分式中含有字母，由於字母可以表示不同的數，所以分式比分數更具有一般性；分數是分式中字母取特定值後的特殊情況。

整式和分式統稱爲有理式。

帶有根號且根號下含有字母的式子叫做無理式。

無限不循環小數也是無理式

無理式和有理式統稱代數式

爲什麼求函數的垂直漸近線時首先要確定有理式是最簡分式？

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