黎曼幾何中平行線相交是什麼意思

黎曼幾何中平行線相交的意思是在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。

黎曼幾何是非歐幾何的一種，亦稱橢圓幾何。

德國數學家黎曼，對空間與幾何的概念作了深入的研究，於1854年發表《論作爲幾何學基礎的假設》一文，創立了黎曼幾何。

幾何是研究空間結構及性質的一門學科。

它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等具有同樣重要的地位，並且關係極爲密切。

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黎曼幾何中平行線相交的意思是在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。

黎曼幾何是非歐幾何的一種，亦稱橢圓幾何。

德國數學家黎曼，對空間與幾何的概念作了深入的研究，於1854年發表《論作爲幾何學基礎的假設》一文，創立了黎曼幾何。

幾何是研究空間結構及性質的一門學科。

它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等具有同樣重要的地位，並且關係極爲密切。

非歐幾何中平行線相交是怎麼回事？

過直線外的一點，一條平行線也得不出來。

黎曼幾何是非歐幾何的一種，非歐幾何中平行線也可以相交。平常所學的幾何都是歐式幾何，都是以歐幾里得提出的五條共設爲前提的。而第五共設無法拿出事實去證明。所以有了非歐幾何。

黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面。

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和性。因此這三種幾何都是正確的。

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歐式幾何與非歐幾何的適用範圍

歐氏幾何主要研究平面結構的幾何及立體幾何，非歐幾何是在一個不規則曲面上進行研究。歐式幾何可以用於研究平面上的幾何，即平面幾何。

研究三維空間的歐幾里得幾何，通常叫做立體幾何。非歐幾何適用於抽象空間的研究，即更一般的空間形式，使幾何的發展進入了一個以抽象爲特徵的嶄新階段。非歐幾何學還應用在愛因斯坦發展的廣義相對論。

在黎曼幾何裏平行線可以相交嗎？

黎曼幾何中沒有平行線。換而言之、在黎曼幾何中平行線可以相交。

平行，相交和垂直是什麼意思？

在平面上兩條直線、空間的兩個平面以及空間的一條直線與一平面之間沒有任何公共點時，稱它們平行。

在數學中，相交是兩個幾何圖形之間關係的一種。兩個圖形相交是指它們有公共的部分，或者說同時屬於兩者的點的集合不是空集。若兩個幾何圖形在某個地方有且只有有一個交點，則可以稱爲相切而不是相交。

垂直，是指一條線與另一條線成直角，這兩條直線互相垂直。通常用符號“⊥”表示。

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在歐幾里得平面上，兩條直線要麼平行，要麼相交，要麼重合。這時歐幾里得第五公設的推論。相交的兩條直線恰好有一個交點。

在非歐幾何中，按幾何特性（曲率），可以分爲兩類。羅巴切夫斯基幾何中兩條直線要麼平行，要麼相交，但平行線不止一條。黎曼幾何中兩條直線總是相交。

三維空間或更高維空間中，兩條直線相交則必定共面。

兩個圓相交當且僅當兩個圓心之間的距離嚴格小於兩圓的半徑之和，並嚴格大於兩圓的半徑之差。

參考資料來源：百度百科-相交 （數學用語）

參考資料來源：百度百科-垂直 （數學術語）

參考資料來源：百度百科-平行 （科學術語和概念）

我殺了歐拉 滅了黎曼 只爲讓平行線相交什麼意思

黎曼幾何是非歐幾何的一種，非歐幾何中平行線也可以相交。我們平常所學的幾何都是歐式幾何，都是以歐幾里得提出的五條共設爲前提的。而第五共設無法拿出事實去證明。所以有了非歐幾何。

第五公設的等價命題是這樣的：過直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行。

非歐幾何就是在第五公設不成立的情況下建立的幾何學說吧。個人理解，勿噴。

有科學家提出平行線是可以相交的，應該怎麼理解？

1854年，德國數學家黎曼創立了他的一個非歐幾何學——黎曼幾何，他的第五公設換成任何兩直線都是相交的，即沒有平行線一說。其幾何模型之一就是球面，直線就是大圓。

爲什麼相交線段平行(黎曼幾何)

兩平行線相交於無窮點

以下爲引用：

“平行線公理”之爭的終結——黎曼幾何

讓我們先來個邏輯推理：對於“過直線外一點可做其幾條平行線”？歐氏幾何說，只能做一條；羅氏幾何說，至少可以做兩條（包括一組和無數）。那麼還剩什麼情況沒涉及到呢？

很顯然，就是一條都不能做！

而有人沿着這個思路想下去，還真的又創立了一種“非歐幾何”。這個人叫“黎曼”，是德國數學家，所以這種幾何又被稱爲“黎曼幾何”。1854年黎曼所作的《論幾何學作爲基礎的假設》一文，是“黎曼非歐幾何”誕生的標誌。

那麼黎曼何以認爲“過直線外一點一條該直線的平行線也做不出來”呢？

這需要我們再回到球面。我在講羅氏幾何時，就不得不提前告訴大家，圓球上的“直線”是過球心的圓上的“大圓弧”，且這些“直線圓”都是相交的，並建議大家用兩根“赤道圓繩”在地球儀上比劃，以獲得鮮明、生動的“感性認識”。（請參見41頁2027復“羅氏幾何可能在什麼“面”上實現？”）其實這一思想是黎曼的。

這裏需要注意的是：我們大家所熟悉的地球儀上的“緯線圈”可不是“球面直線”！亦即“緯線圈”及其“圓弧”不是“短程線”（或說“測地線”）。這是爲什麼呢？大家可以就着地球儀觀察一下，凡是“直線圓及其圓弧”，過其上任一點所做的圓球的切面，與這個直線圓或其圓弧都是“垂直”關係！這是球面“直線”和“直線圓”的突出特點。但緯線圈及其圓弧就無此特點了，你可以任意選一緯線（赤道除外），然後在其上任選一點，過該點做圓球的切面（用本書罩在這點上，使地球儀靠在這書上，就像地球儀靜放在桌面上的書上的狀態一樣即可。這裏只不過移到了空中）。這時你就可明顯地發現，緯線圈與其有關“球切面（書）”是一種“斜交”關係，而非“垂直”關係。當然，“一段緯線”，即“緯線圓弧”，與其各點“球切面”的關係，亦是“斜交”，而非垂直關係。因此緯線圈及其圓弧不是球面上的“直線”。——由此，旅行時，大家應選擇走“球面直線圓弧”（大圓弧），而不是“沿着緯線走”，這樣你才能真正走“捷徑”！沿着緯線走其實是“繞遠”、走了彎路了。但“赤道”既是緯線又是球面直線圓，所以在赤道沿着赤道走是最短途徑，是走的“直線”。

下面回到正題：正是由於球上“大圓弧”延長後都是有限、封閉的（都成“圓”），且任何兩個“球面直線圓”都相交，因此黎曼認爲球面（如我們的“地球”，曾被看成“平面”）上其實無平行線可言，當然也就更談不到“過直線外一點作其一條或幾條平行線”了。這樣關於歐氏幾何的“第五公設”，到了黎曼這裏，就變成“過直線外一點一條平行線都做不出來”了（這其實也是歐氏第五公設的一個“反命題”）！

而“圓球”是“橢圓球”的特例，我們的地球實際就是個不規則的“橢球體”。關於圓球和各種橢球的關係如下：

橢球是一種二次曲面，是橢圓在三維空間的推廣。橢球在xyz-笛卡兒座標系中的方程是：

其中a和b是赤道半徑（沿着x和y軸），c是極半徑（沿着z軸）。這三個數都是固定的正實數，決定了橢球的形狀。

如果三個半徑都是相等的，那麼就是一個球；如果有兩個半徑是相等的，則是一個類球面。

球；

扁球面（類似塊狀）；

長球面（類似條狀）；

不等邊橢球（“三條邊都不相等”）。

點(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。從原點到這三個點的線段，稱爲橢球的半主軸。它們與橢圓的半長軸和半短軸相對應。（摘自“維基百科”，請參見下圖）

因此，黎曼由圓球得出的結論，可以推廣到“橢球”：過橢球心的“橢圓及其圓弧”乃橢球上的“短程線”或說“測地線”，亦即“橢球直線”。同樣這些“直線橢圓”也是相交關係，因此在橢球面上像在圓球面上一樣，也不存在平行線。

黎曼“無平行線”的新幾何提出後，大家一看，他說得有道理啊，“言之成理，持之有故”，可以很好地“自圓其說”，且比羅氏幾何好理解多了，直觀多了，於是很快便接受了“黎曼幾何”。而由於黎曼幾何適用於“橢球面”，所以黎曼幾何又被稱爲“橢圓幾何”。

高等數學——平行線會相交是怎麼回事哦？

在歐幾里得幾何體系中，兩條平行線間的距離處處相等。

在希爾伯特幾何體系中，兩條平行線在無窮遠處相交於一點。

這是微觀與宏觀的矛盾的統一性。

“平行線可以相交”的理論對人類有何意義？

“平行線可以相交”這件事在我們現在看來，很多人都無法理解，這是因爲我們知識的侷限性造成的。

我們初中所學習到的平面幾何學以歐幾里得幾何學爲框架，其中對平行線的定義就是在二維平面內兩條不相交的直線。

而關於直線的定義是，在二維平面上的兩個點之間有且只有一條直線，也就是我們常說的兩點確定一條直線。

這麼看來在歐式幾何學中，平行線可以無限延長，且永遠不會相交。這種說法很符合人類的直覺常識，也很容易被人們接受，且深信不疑。

不僅是我們，幾千年來大部分的數學家也是這樣認爲的。因此歐式幾何學也順勢統治了人類數學史數千年的時間。

那麼平行線爲何又可以相交呢？這是怎麼回事？這個問題涉及到了幾何學的一個重大發現和突破，也不得不提一位俄羅斯數學界的牛人：羅巴切夫斯基。

1826年2月23日，34歲的羅巴切夫斯基在自己任教的喀山大學舉辦的一次學術討論會上宣讀了自己的一篇論文。

參加此次學術會議的都是當時數學家的大咖，其中不乏一些已經在學術界很有成就，資歷比較老的前輩。

在他們眼裏羅巴切夫斯基是一位在學術上非常嚴謹、誠實、富有才華的青年數學家，未來可期。他們也很期待羅巴切夫斯基的學術報告。

負曲率二維表面三角形內角和小於180°，且可以作已知直線的無數條平行線

在做了簡短的開場白以後，接下來羅巴切夫斯基所說的話，令當時在場的所有數學家驚愕不已，羅巴切夫斯基所做的報告不僅完全超出了當時數學界的認知，且每一句話都在挑戰着人們的常識。

例如羅巴切夫斯基提出：在一個二維的面上三角形的內角之和可以小於180°，當然也可以大於180°；由兩條直線組成的銳角，向一邊作垂線，這個垂線可以和另外一條邊不相交；

正曲率表面，三角形內角和大於180°，無法作平行線

在一個二維面內，過直線外的一點，可以做多條直線與已知直線平行；當然也存在無法做平行線的情況，也就是說在一個二維面上，沒有真正的平行線，任何兩條直線都有一個共同的交點（平行線相交）。

看了以上的說法是不是很懵，不要慌張，當時在座的所有數學家都被驚掉了下巴，無人能理解羅巴切夫斯基在說什麼。

但羅巴切夫斯基說這些看起來奇怪的說法是新的幾何學，雖然和歐式幾何相互衝突，但是它和歐式幾何有着同等重要的地位，並請求同行對他的報告提出評議。

但此時的會場一片寂靜，所有的人都流露出了懷疑、否定的態度，不敢相信這麼胡扯的話能出在一位治學嚴謹的數學家之口。

那麼羅巴切夫斯基到底說的是什麼？它又發現了什麼？

上文中我們不斷的提到歐式幾何，它是公元3世紀由古希臘學者歐幾里得編寫的一部數學界的曠世鉅著《幾何原本》。

歐幾里得的幾何學中，一開始寫了5條公設（公理），並在此基礎上進行邏輯推理導出了48個命題。公設的意思是那些不用去證明的真理。

這五條公理我們非常熟悉，這是學習幾何時必須掌握的知識，其中前四條公理人們看着十分滿意，但是唯獨第五條（論平行線的）人們怎麼看怎麼不舒服。

並不是覺得它不對，就是感覺這個語句如此之長一點也不簡潔，看起來更像是一條可以被證明的定理，而不是公理。

並且後來的學家也認爲，是當時歐幾里得無法給出這條定理的證明，投機取巧才把它寫進了公理。如此想法一出，數學界就開始了長達數千年利用前四條公理去證明第5公理的道路。

在一個球面，兩點之間可以作無數條直線。

但是直到19世紀初，所有的數學家都逃不過循環論證的噩夢，證明第5條公理就成爲了數學家的一大歷史遺留問題。

身爲數學家的羅巴切夫斯基當然也加入了其中，不過他一樣也發現第五條公理怎樣都無法證明。但是理論的進步往往都自於一瞬間的靈光乍現。

既然無法證明，那是不是就說明證明的第五條公理的過程根本就不存在，我們去找一件本身不存的事情當然是徒勞。人類花了幾千年，就算是再過上萬年也會無果。

爲了證明第五公理不可證明，羅巴切夫斯基首先否定了第五公理，把他更改爲一條新的公理，即：過直線外的一點可以做已知直線，至少兩條平行線。

將這個新的公理和前四條公理結合在一起，羅巴切夫斯基從頭開始了新的邏輯推理，並發現得出來的結論雖然古怪，但是在理論上並不矛盾，而且與前四條公理完美的相容。

這隻能說明，新結論和歐式幾何同樣具有同等的地位，且是一個完整、邏輯嚴密的新幾何。新幾何的存在也說明了第五公理並不是公理，也不是定理，它只能是一個對平行線的定義，不同的定義可以導出不同的結論，因此也無法證明。

這個新的幾何學就是我們大學時學到的非歐幾何，適用於彎曲的時空。羅巴切夫斯基根據他對平面內平行線的定義所得出來的幾何學也被稱爲羅氏幾何。

主要描述的是負曲率空間的幾何學，雖然這是一個偉大的發現，但是由於當時人們根本找不到現實世界的類比物來理解羅氏幾何。

因此羅巴切夫斯基的新發現得到的是一片冷嘲熱諷，甚至是人身攻擊，甚至是被當時的教育部開除了公職，迫使他離開了最喜愛的大學校園。

長年的苦悶和壓抑使得羅巴切夫斯基在晚年百病纏身，甚至失明。1856年羅巴切夫斯基帶着遺憾和無奈走完了自己的一生。這時他的新幾何學依然沒有被人們認可，在追悼會上人們對他在非歐幾何上的貢獻也是隻字不提，刻意迴避。

1854年黎曼更改了第五條公理，即：在一個二維平面內，不存在平行線的存在，得出了黎曼幾何。黎曼幾何描述的是正曲率空間的幾何學，也被稱爲橢球幾何學。

1864閔可夫斯基提出了不同以往的絕對平坦時空，稱爲閔式四維時空，1868年數學家貝特拉米證明的非歐幾何可以在閔式四維時空的曲面上實現。

到了二十世紀初，愛因斯坦在閔式四維時空以及非歐幾何的基礎上提出了相對論，爲人們重新塑造了整個宇宙的時空結構。

平坦的時空只不過是宇宙中小尺度上的特例，而在大尺度上不存在所謂的平坦時空，因此非歐幾何纔是宇宙的本質。

宇宙曲率

整個宇宙存在一定的曲率，雖然我們觀察到的宇宙近似於平坦，這隻能說明我們觀察的尺度較小，從整個宇宙的尺度上來說，是不存在絕對的平行線，無限延長的兩條線會因爲宇宙的曲率相交或者發散。

因此歐式幾何就像是牛頓力學，非歐幾何更像是相對論。人們當時難以接受非歐幾何不亞於難以接受相對論的程度。

黎曼幾何爲什麼平行線

你想問的是爲什麼黎曼幾何中平行線可以相交吧。簡單的舉個例子，地球的兩條平行的經線會有兩個交點，也就是北極點和南極點。黎曼幾何是建立在黎曼空間上的，是比我們日常所處的歐式空間更復雜的曲面空間，事實上，曲面空間纔是真實的宇宙。

兩條平行線 在什麼情況下可以相交？

在什麼情況下都不可以相交。

幾何中，在同一平面內，永不相交（也永不重合）的兩條直線(line)叫做平行線（parallel lines）。

平行線公理是幾何中的重要概念。歐氏幾何的平行公理，可以等價的陳述爲“過直線外一點有唯一的一條直線和已知直線平行”。

而其否定形式“過直線外一點沒有和已知直線平行的直線”或“過直線外一點至少有兩條直線和已知直線平行”，則可以作爲歐氏幾何平行公理的替代，而演繹出於歐氏幾何的非歐幾何。

擴展資料：

平行公理

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。平行公理的推論體現了平行線的傳遞性，它可以作爲以後推理的依據。

在歐幾里得的幾何原本中，第五公設（又稱爲平行公理）是關於平行線的性質。它的陳述是：

“在平面內，如果兩條直線被第三條直線所截，一側的同旁內角之和大於兩個直角，那麼最初的兩條直線相交於這對同旁內角的另一側。”

這條公理的陳述過於冗長。在1795年，蘇格蘭數學家Playfair提出了以下以下公理作爲平行公理的代替，在被人們廣泛的使用。

參考資料來源：百度百科-平行線