目錄方法1:解不含常數項的三次方程1、檢查三次方程,看是否包含常數項d{displaystyle d}2、
提取方程的公因式x{displaystyle x}3、如果可能,將得到的二次方程因式分解。4、如果無法手動對括號內的部分進行因式分解,可使用二次公式求解。5、零和二次方程的解就是三次方程的解。方法2:使用因數表求整數解1、確保三次方程有一個d{displaystyle d}2、找出a{displaystyle a}3、用a{displaystyle a}4、手動代入整數,這種方法較爲簡單,但可能會比較費時。5、使用更復雜,但可能更快速的綜合除法。方法3:使用判別式方法1、寫下a{displaystyle a}2、使用正確的公式計算判別式零。3、然後,計算Δ1=2b3?9abc+27a2d{displaystyle Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}4、計算:5、計算:6、使用變量計算三個根。三次方程的最高次數爲3次,它有3個解,或者說3個根,方程本身的形式是
方法1:解不含常數項的三次方程
1、檢查三次方程,看是否包含常數項。三次方程的形式爲。但是,唯一必要的關鍵項是,這意味着三次方程中未必會出現其他項。如果方程中包含常數項,那麼你就必須使用其它解法。
如果,那麼這個方程就不是三次方程。
2、提取方程的公因式。由於方程沒有常數項,所以其中各項都包含變量。也就是說,可以提取方程的公因式來簡化方程。這樣做之後,可以將方程重寫爲。例如,假設我們一開始要解的方程是。
提取方程的公因式,得到。
3、如果可能,將得到的二次方程因式分解。很多情況下,提取公因式後得到的二次方程都能被因式分解。例如,如果要解,你可以:提取公因式:
將括號內的二次方程因式分解:
設各因式等於。得到方程的解。
4、如果無法手動對括號內的部分進行因式分解,可使用二次公式求解。你可以將、、的值代入二次公式()中,算出使二次方程等於0的x值。使用這種方法可以求出三次方程的兩個解。示例中,將、和的值、和分別代入到以下二次公式:
解1:
解2:
5、零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有兩個解,而三次方程有三個。你已經求出其中的兩個解,即你爲括號中“二次”部分求出的解。對於可以用“因式分解”方法求解的方程,第三個解一定爲。將方程分解爲包含兩個因式的形式,左邊的因式是變量,右邊的因式是括號內的二次方程。如果任一因式等於,則整個方程等於。
因此,使括號內的二次因式等於的兩個解是三次方程的解,而使左邊因式等於的本身,也是三次方程的解。
方法2:使用因數表求整數解
1、確保三次方程有一個值不等於零的常數項。如果形式爲的方程擁有一個不等於零的值,那就無法將它因式分解爲二次方程。但是不用擔心,你還可以使用其他方法,比如下文中介紹的方法。以方程爲例。這個方程中,要讓等號的右邊等於,你需要兩邊都加。
得到新的方程。由於,你無法使用二次方程方法。
2、找出和的因數。要解三次方程,我們需要先關注項的係數以及方程最後的常數項,找出它們各自的因數。記住,如果兩個數字相乘得到另一個數,那麼這兩個數就是乘積的因數。例如,由於你可以用和得到6,所以1、2、3、6就是6的因數。
例題中,,而。2的因數是1和2。6的因數是1、2、3、6。
3、用的因數除以的因數。將的各因數除以的各因數所得的值羅列出來。這樣做通常會得到許多分數和幾個整數。三次方程的整數解要麼是其中的一個整數,要麼是其中一個整數的相反數。例題中,用的因數1和2除以的因數1、2、3、6,得到:,,,,和。然後,我們將各數字的相反數加入進去,使之更加完整:,,,,,,,,,,和。三次方程的整數解就在其中。
4、手動代入整數,這種方法較爲簡單,但可能會比較費時。得到相除的結果後,你可以迅速將整數手動代入,看哪些能讓三次方程等於,進而求出方程的解。例如,如果將代入方程,可以得到:,即,結果不等於。因此,使用得到的下一個值。
如果將代入方程,得到,結果等於。這意味着是方程的一個整數解。
5、使用更復雜,但可能更快速的綜合除法。如果你不想花時間一個一個地去代入所有的值,不妨嘗試一下更快捷的方法,也就是所謂的綜合除法。總的來說,你應該使用綜合除法,用得到的整數值除以、、和。如果得到餘數,那麼這個值就是三次方程的解。綜合除法是一個複雜的主題,超出了本文論述的範圍。以下的例子示範瞭如何用綜合除法求三次方程的解:-1 | 2 9 13 6__| -2-7-6__| 2 7 6 0
由於得到的最終餘數爲,由此可知,是三次方程的一個整數解。
方法3:使用判別式方法
1、寫下、、和的值。本方法會大量用到方程各項的係數。開始前,記下、、和的值,免得之後混淆。對於例題,寫下、、和。注意,如果有變量前沒有係數,這代表它的係數爲。
2、使用正確的公式計算判別式零。用判別式方法求三次方程的解會用到十分複雜的數學原理,但如果嚴格遵循方法流程,你會發現,它在解令其他方法束手無策的三次方程方面十分實用。首先,將適當的值代入到公式中,求出第一個重要數值,即判別式零。判別式是一個數字,可以爲我們提供關於多項式根的信息。你可能已經知道二次判別式是()。
例題中的計算過程如下:
3、然後,計算。你需要的下一個重要數值是判別式,即,它的計算過程會稍微複雜一點,但方法與基本相同。將適當的值代入到公式中,得到的值。例題中的計算過程如下:
4、計算: 。然後,我們會使用和的值計算三次方程的判別式。在三次方程中,如果判別式爲正數,則方程有三個實數解。如果判別式等於零,則方程有一個或兩個實數解,且有時兩個實數解會相等。如果判別式爲負數,則方程只有一個實數解。三次方程必定有至少一個實數解,因爲其函數圖形必定會與X軸相交至少一次。
例題中,由於和都等於,所以的計算相對簡單。計算過程如下:,所以方程有一個或兩個解。
5、計算: 。最後一個需要計算的重要數值是。它能幫助我們在最後求出三個根。按照正常計算過程,根據需要代入 和。例題中,的計算過程如下:
6、使用變量計算三個根。三次方程的根或解可以使用公式計算,其中,而n等於1、2或3。根據需要代入數值進行計算,其中涉及到大量的數學運算,但你應該可以得到三個使方程成立的解。你可以分別計算n等於1、2、3時公式的值,來求得例題的答案。這樣得到的答案可能就是三次方程的解。你可以將答案代入到方程中,使之等於0的答案即爲方程的正確解。
例如,將1代入到中,計算結果爲0,所以1就是三次方程的一個解。