如何解二次方程,3種方法來解二次方程
方法1:因式分解法
1、把所有同類項合併,移到等式一邊。首先要把所有同類項合併,並讓x 保持爲正數。要合併,只要加減x 項、x項和常數項,移到等號一邊。一邊沒有東西了以後,就寫0就可以了。以下是方法:2x - 8x - 4 = 3x - x =
2x +x - 8x -3x - 4 = 0
3x - 11x -4 = 0
2、因式分解表達式。要因式分解,要利用x 項 (3)的因數、常數項(-4)的因數,相乘後加起來等於中間項數(-11)。按以下步驟做:因爲 3x 只有一組可能的因數,即 3x 、 x ,寫入括號得(3x +/-?? )(x +/-??) = 0
然後分解4,找出一個組合以相乘得到 -11x 。可以用4和1組合,或者2和2組合。要記得其中一項是負數,因爲常數項是-4
試試(3x +1)(x -4) 乘後得到 - 3x -12x +x -4。合併-12x 和 x,得到-11x , 就是目標的中間項。這樣因式分解了一個二次方程。
作爲例子,我們試試另外一種行不通的解: (3x -2)(x +2) = 3x +6x -2x -4 ,合併後得到3x -4x -4。雖然-2 和 2 乘起來是-4 ,中間項還是不對,因爲要得到-11x,不是 -4x
3、讓所有括號項等於0,作爲分開的等式。這就是說,讓3x +1 = 0 、 x - 4 = 0。這樣就可以讓你找出兩個x解,來確保整個等式等於0。因式分解了以後,只要讓括號分別等於0就好。但爲什麼呢?因爲要通過乘法來得到0,根據數學原理有一個因子就必須爲0,所以至少有一個括號中的結果要等於0;因此,(3x + 1)或(x - 4)必須等於0。所以,你既可以寫成,也可以寫成。
4、分開解每個方程。在二次方程式中,有兩個x的解,只要獨立解出每個解就可以了。求解 3x + 1 = 03x = -1 ..... 減法
3x/3 = -1/3 ..... 除法
x = -1/3 ..... 簡化
Solve x - 4 = 0x = 4 ..... 減法
x = (-1/3, 4) ..... 得出多種可能的解法,即x = -1/3,或者x = 4,答案都一樣。
5、在(3x + 1)(x – 4) = 0中驗算x = -1/3:我們來算一算 (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4)??=? 0 .....代入 (-1 + 1)(-4 1/3)??=? 0 .....簡化 (0)(-4 1/3) = 0 .....乘法,得出0 = 0 .....沒錯,x = -1/3
6、在(3x + 1)(x - 4) = 0中驗算x = 4:我們來算一算(3[4] + 1)([4] – 4)??=? 0 .....代入 (13)(4 – 4)??=? 0 .....簡化 (13)(0) = 0 .....乘法 0 = 0 ..... 沒錯,x = 4同樣是正確的所以,兩種解法經過單獨“驗算”,都得出了正確的結果。
方法2:用二次公式
1、合併所有同類項,移到等號一邊。像上面步驟一樣,移到一邊去,保持x是正數,按次數大小排列,x最前,x中間,常數項最後:4x - 5x - 13 = x -5
4x - x - 5x - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0
2、寫下二次公式 :{-b +/-√ (b - 4ac)}/2a
3、找出a、b、c的值。這裏a就是二次項係數,b是一次項係數,c是常數項。3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, c = -8。記下來。
4、把已知的a、b、c代入公式,按以下步驟來做:{-b +/-√ (b - 4ac)}/2
{-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
{-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5、算出解。替代公式中a、b、c以後,計算出各個解。如下:{-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
{5 +/-√(25 + 96)}/6
{5 +/-√(121)}/6
6、簡化根式。如果根號內是完全平方數,就會得到整數,但如果不是,就將其簡化爲最簡形式。如果是負數,則解是複數。這裏 √(121) = 11。 於是x = (5 +/- 11)/6。
7、把正數解和負數解解出來。消除根號以後,就會發現有兩根,一根正一根負。即(5 +/- 11)/6,得到兩根:(5 + 11)/6
(5 - 11)/6
8、解出兩根:(5 + 11)/6 = 16/6
(5-11)/6 = -6/6
9、簡化解。只要上下同除以最大公因數,化簡分式就可以。把第一個解除以2,第二個除以6,得到解。16/6 = 8/3
-6/6 = -1
x = (-1, 8/3)
方法3:配方法
1、把所有同類項合併到等號一邊。注意a 或 x 係數是正數。按下列步驟做:2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0等式中,a 是2,b是-12 , c 是-9
2、把c 或常數移到等號另一邊。常數項就是不含有變量的項。移到等號右邊。 2x - 12x - 9 = 0
2x - 12x = 9
3、兩邊同時除以 a ,即x 係數。 若x 沒有係數,或者說只有係數1,則跳過此步驟。 本例子中要把所有項除以2:2x/2 - 12x/2 = 9/2 =
x - 6x = 9/2
4、再把 b除以2,得出它的平方,然後兩邊同時加上這個平方數。 這裏b是-6,如下處理:-6/2 = -3 =
(-3)2 = 9 =
x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5、兩邊同時化簡。左邊得到(x-3)(x-3)或 (x-3) ,在右邊加上了數得到9/2 + 9 或 9/2 + 18/2,得到27/2
6、找出兩邊的平方根。(x-3) 平方根就是(x-3)。27/2 的平方根是±√(27/2)。 由此 x - 3 = ±√(27/2)
7、簡化根號,解出x。要簡化±√(27/2),就要找出2或27中的完全平方數因數。9 是 27的一個完全平方數因數,9 x 3 = 27。 要把9提出來,在根號外寫出9的平方根3,根號內留下不能分解的3,還有分母的2,然後把等號左側的3移過來,解出兩個x解: x = 3 +(√6)/2
x = 3 - (√6)/2)
小提示
可以發現根號不能完全消掉。因此分子部分不能合併(因爲不是同類數字)。因此把加號減號分開沒太多意義。我們要把任何常數項和根號外係數的因數提出來化簡。若根號下不是完全平方數,則最後幾步有點不同。
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