柯西不等式怎麼用，柯西不等式是什麼怎麼用請舉例說明

柯西不等式是由大數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的。但從歷史的角度講，該不等式應稱作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式】因爲，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，纔將這一不等式應用到近乎完善的地步。

柯西不等式是由柯西在研究過程中發現的一個不等式，其在解決不等式證明的有關問題中有着十分廣泛的應用，所以在高等數學提升中與研究中非常重要，是高等數學研究內容之一。

擴展資料：

基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大爲無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用（1）中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin（麥克勞琳）級數展開，而國內普遍誤譯爲Taylor（泰勒）展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因爲一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因爲不可能放大、縮小後的結果都一樣。

8、特殊情況下，化爲積分計算。

9、其他極爲特殊而不能普遍使用的方法。

二維形式

(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd）^2

等號成立條件：ad=bc

三角形式

√（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a-c）^2+(b-d)^2]

等號成立條件：ad=bc

注：“√”表示平方根，

向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=（a1,a2，…，an），β=（b1,b2，…，bn）(n∈N,n≥2)

等號成立條件：β爲零向量，或α=λβ（λ∈R）。

一般形式

（∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2

等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均爲零。

上述不等式等同於圖片中的不等式。

推廣形式

(x1+y1+…)（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx）^(1/m)+（Πy）^(1/m)+…]^m

注：“Πx”表示x1,x2，…，xn的乘積，其餘同理。此推廣形式又稱卡爾鬆不等式，其表述是：在m*n矩陣中，各行元素之和的幾何平均

不小於各列元素之和的幾何平均之積。（應爲之積的幾何平均之和）

【柯西不等式的簡介】

柯西不等式是由大數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的"留數"問題時得到的.但從歷史的角度講，該不等式應當稱爲Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因爲，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，並將這一不等式應用到近乎完善的地步。

柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較爲困難的問題迎刃而解。可在證明不等式，解三角形相關問題，求函數最值，解方程等問題的方面得到應用。

[編輯本段]【柯西不等式的證法】

柯西不等式的一般證法有以下幾種：

■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 （∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai *bi）^2.

我們令 f(x) = ∑（ai + x * bi）^2 = （∑bi^2） * x^2 + 2 * （∑ai * bi） * x + （∑ai^2）

則我們知道恆有 f(x) ≥ 0.

用二次函數無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi）^2 - 4 * （∑ai^2） * （∑bi^2） ≤ 0.

於是移項得到結論。

■②用向量來證.

m=(a1,a2。。an) n=(b1,b2。。bn)

mn=a1b1+a2b2+。。+anbn=(a1^2+a2^2+。。+an^2)^(1/2)乘以（b1^2+b2^2+。。+bn^2）^(1/2)乘以cosX.

因爲cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+。。+anbn小於等於a1^2+a2^2+。。+an^2)^(1/2)乘以（b1^2+b2^2+。..+bn^2）^(1/2)

這就證明了不等式.

柯西不等式還有很多種，這裏只取兩種較常用的證法.

[編輯本段]【柯西不等式的應用】

柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。

■巧拆常數：

例：設a、b、c 爲正數且各不相等。

求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)

分析：∵a 、b 、c 均爲正數

∴爲證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又 9=(1+1+1)(1+1+1)

證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）(1+1+1)=9

又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立

∴原不等式成立。

像這樣的例子還有很多，詞條裏不再一一列舉，大家可以在參考資料裏找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻.

[編輯本段]【柯西簡介】

柯西1789年8月21日生於巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動盪的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因，柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。

他在純數學和應用數學的功力是相當深厚的，很多數學的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數學寫作上，他是被認爲在數量上僅次於歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經典之作，不過並不是他所有的創作質量都很高，因此他還曾被人批評高產而輕率，這點倒是與數學王子相反，據說，法國科學院''會刊''創刊的時候，由於柯西的作品實在太多，以致於科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院後來規定論文最長的只能夠到四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其他地方。

柯西在代數學、幾何學、誤差理論以及天體力學、光學、彈性力學諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理論的基本數學結構，爲彈性力學奠定了嚴格的理論基礎。

【柯西不等式的簡介】 柯西不等式是由大數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的"留數"問題時得到的.但從歷史的角度講，該不等式應當稱爲Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因爲，正是後兩位數學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，並將這一不等式應用到近乎完善的地步。

柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較爲困難的問題迎刃而解。可在證明不等式，解三角形相關問題，求函數最值，解方程等問題的方面得到應用。

[編輯本段]【柯西不等式的證法】 柯西不等式的一般證法有以下幾種： ■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 （∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai *bi）^2. 我們令 f(x) = ∑（ai + x * bi）^2 = （∑bi^2） * x^2 + 2 * （∑ai * bi） * x + （∑ai^2） 則我們知道恆有 f(x) ≥ 0. 用二次函數無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi）^2 - 4 * （∑ai^2） * （∑bi^2） ≤ 0. 於是移項得到結論。 ■②用向量來證. m=(a1,a2。

an) n=(b1,b2。

bn) mn=a1b1+a2b2+。

+anbn=(a1^2+a2^2+。

+an^2)^(1/2)乘以（b1^2+b2^2+。

+bn^2）^(1/2)乘以cosX. 因爲cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+。

+anbn小於等於a1^2+a2^2+。

+an^2)^(1/2)乘以（b1^2+b2^2+。

..+bn^2）^(1/2) 這就證明了不等式. 柯西不等式還有很多種，這裏只取兩種較常用的證法.[編輯本段]【柯西不等式的應用】 柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。 ■巧拆常數： 例：設a、b、c 爲正數且各不相等。

求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均爲正數 ∴爲證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥（1+1+1）(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立 ∴原不等式成立。 像這樣的例子還有很多，詞條裏不再一一列舉，大家可以在參考資料裏找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻.[編輯本段]【柯西簡介】 柯西1789年8月21日生於巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動盪的政治漩渦中一直擔任公職。

由於家庭的原因，柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。 他在純數學和應用數學的功力是相當深厚的，很多數學的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。

在數學寫作上，他是被認爲在數量上僅次於歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經典之作，不過並不是他所有的創作質量都很高，因此他還曾被人批評高產而輕率，這點倒是與數學王子相反，據說，法國科學院''會刊''創刊的時候，由於柯西的作品實在太多，以致於科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院後來規定論文最長的只能夠到四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其他地方。 柯西在代數學、幾何學、誤差理論以及天體力學、光學、彈性力學諸方面都有出色的工作。

特別是，他弄清了彈性理論的基本數學結構，爲彈性力學奠定了嚴格的理論基礎。

二維形式 （a^2+b^2）(c^2 + d^2)≥（ac+bd）^2 等號成立條件：ad=bc 三角形式 √（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a-c）^2+(b-d)^2] 等號成立條件：ad=bc 注：“√”表示平方根， 向量形式 |α||β|≥|α·β|，α=（a1,a2，…，an），β=（b1,b2，…，bn）(n∈N,n≥2) 等號成立條件：β爲零向量，或α=λβ（λ∈R）。

一般形式 （∑ai^2）（∑bi^2） ≥ （∑ai·bi）^2 等號成立條件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均爲零。 上述不等式等同於圖片中的不等式。

推廣形式 （x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx）^(1/m)+（Πy）^(1/m)+…]^m 注：“Πx”表示x1,x2，…，xn的乘積，其餘同理。此推廣形式又稱卡爾鬆不等式，其表述是：在m*n矩陣中，各行元素之和的幾何平均 不小於各列元素之和的幾何平均之積。

（應爲之積的幾何平均之和）。

記兩列數分別是ai, bi，則有（∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai *bi）^2

例：設a、b、c 爲正數且各不相等。

求證： （2/a+c）+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c)

分析：∵a 、b 、c 均爲正數

∴爲證結論正確只需證：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9

而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)

又 9=(1+1+1)(1+1+1)

證明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥（1+1+1）(1+1+1)=9

又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立

∴原不等式成立。