函數連續和極限存在的關係

有極限不一定連續，但是連續一定有極限。一個函數連續必須有兩個條件，一個是在此處有定義，另外一個是在此區間內要有極限，因此說函數有極限是函數連續的必要不充分條件。

函數y=f(x)當自變量x的變化很小時，所引起的因變量y的變化也很小。例如氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的，對於這種現象，我們說因變量關於自變量是連續變化的，可用極限給出嚴格描述，設函數y=f(x)在x0點附近有定義，如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則稱函數f在x0點連續。如果定義在區間I上的函數在每一點x∈I都連續，則說f在I上連續，此時，它在直角座標系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。

在某點連續的有限個函數經有限次和，差，積，商(分母不爲0)運算，結果仍是一個在該點連續的函數。連續單調遞增（遞減）函數的反函數，也連續單調遞增（遞減）。連續函數的複合函數是連續的。