定點向量vexs怎麼寫
設M(x,y)
向量AM=(x+1,y) 向量BM=(x-1,y)
點M到點C(0,1)距離平方爲:x^2+(y-1)^2
向量AM乘向量BM:(x+1)(x-1)+y^2 = x^2-1+y^2
x^2-1+y^2=k*[x^2+(y-1)^2]
(k-1)x^2+(k-1)y^2+k-2ky+1=0
當k=1時,y=1 是一條直線
當k不等於1時,x^2+[y-k/(k-1)]^2=1/[(k-1)^2],
該曲線是以(0,k/(k-1))爲圓心,以1/(k-1)爲半徑的圓
2.空間向量怎樣過定點求平面法向量(43) 平面法向量的求法及其應用 嵩明縣一中 吳學偉 引言:本節課介紹平面法向量的三種求法,並對平面法向量在高中立體幾何中的應用作歸納和總結。
其中重點介紹外積法求平面法向量的方法,因爲此方法比內積法更具有優越性,特別是在求二面角的平面角方面。此方法的引入,將對高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問題的解答變得快速而準確,那麼每年高考中那道12分的立體幾何題將會變得更加輕鬆。
一、平面的法向量 1、定義:如果 ,那麼向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有兩大類(從方向上分),無數條。
2、平面法向量的求法 方法一(內積法):在給定的空間直角座標系中,設平面 的法向量 [或 ,或 ],在平面 內任找兩個不共線的向量 。由 ,得 且 ,由此得到關於 的方程組,解此方程組即可得到 。
方法二:任何一個 的一次次方程的圖形是平面;反之,任何一個平面的方程是 的一次方程。 ,稱爲平面的一般方程。
其法向量 ;若平面與3個座標軸的交點爲 ,如圖所示,則平面方程爲: ,稱此方程爲平面的截距式方程,把它化爲一般式即可求出它的法向量。方法三(外積法): 設 , 爲空間中兩個不平行的非零向量,其外積 爲一長度等於 ,(θ爲 , 兩者交角,且 ),而與 , 皆垂直的向量。
通常我們採取「右手定則」,也就是右手四指由 的方向轉爲 的方向時,大拇指所指的方向規定爲 的方向, 。 (注:1、二階行列式: ;2、適合右手定則。)
例1、已知, ,試求(1): (2): Key: (1) ; 例2、如圖1-1,在棱長爲2的正方體 中,求平面AEF的一個法向量 。二、平面法向量的應用1、求空間角(1)、求線面角:如圖2-1,設 是平面 的法向量,AB是平面 的一條斜線, ,則AB與平面 所成的角爲:圖2-1-1: 圖2-1-2: (2)、求面面角:設向量 , 分別是平面 、的法向量,則二面角 的平面角爲: (圖2-2); (圖2-3) 兩個平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等於二面角的平面角。
約定,在圖2-2中, 的方向對平面 而言向外, 的方向對平面 而言向內;在圖2-3中, 的方向對平面 而言向內, 的方向對平面 而言向內。我們只要用兩個向量的向量積(簡稱“外積”,滿足“右手定則”)使得兩個半平面的法向量一個向內一個向外,則這兩個半平面的法向量的夾角即爲二面角 的平面角。
2、求空間距離 (1)、異面直線之間距離:方法指導:如圖2-4,①作直線a、b的方向向量 、,求a、b的法向量 ,即此異面直線a、b的公垂線的方向向量;②在直線a、b上各取一點A、B,作向量 ;③求向量 在 上的射影d,則異面直線a、b間的距離爲 ,其中 (2)、點到平面的距離:方法指導:如圖2-5,若點B爲平面α外一點,點A 爲平面α內任一點,平面的法向量爲 ,則點P到 平面α的距離公式爲 (3)、直線與平面間的距離:方法指導:如圖2-6,直線 與平面 之間的距離: ,其中 。 是平面 的法向量 (4)、平面與平面間的距離:方法指導:如圖2-7,兩平行平面 之間的距離: ,其中 。
是平面 、的法向量。3、證明 (1)、證明線面垂直:在圖2-8中, 向是平面 的法向量, 是直線a的方向向量,證明平面的法向量與直線所在向量共線( )。
(2)、證明線面平行:在圖2-9中, 向是平面 的法向量, 是直線a的方向向量,證明平面的法向量與直線所在向量垂直( )。(3)、證明面面垂直:在圖2-10中, 是平面 的法向量, 是平面 的法向量,證明兩平面的法向量垂直( ) (4)、證明面面平行:在圖2-11中, 向是平面 的法向量, 是平面 的法向量,證明兩平面的法向量共線( )。
三、高考真題新解1、(2005全國I,18)(本大題滿分12分) 已知如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面爲直角梯形,AB‖DC, 底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中點 (Ⅰ)證明:面PAD⊥面PCD;(Ⅱ)求AC與PB所成的角;(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大小 解:以A點爲原點,以分別以AD,AB,AP爲x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系A-xyz如圖所示. , ,設平面PAD的法向量爲 , ,設平面PCD的法向量爲 , ,即平面PAD 平面PCD。 , , , ,設平在AMC的法向量爲 .又 ,設平面PCD的法向量爲 . . 面AMC與面BMC所成二面角的大小爲 . 2、(2006年雲南省第一次統測19題) (本題滿分12分) 如圖3-2,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=a,BC= a,M是AD的中點。
(Ⅰ)求證:AD‖平面A1BC;(Ⅱ)求證:平面A1MC⊥平面A1BD1;(Ⅲ)求點A到平面A1MC的距離。解:以D點爲原點,分別以DA,DC,DD1爲x軸,y軸,z軸,建立空間直角座標系D-xyz如圖所示. , ,設平面A1BC的法向量爲 又 , , ,即AD//平面A1BC. , ,設平面A1MC的法向量爲: ,又 , ,設平面A1BD1的法向量爲: , , ,即平面A1MC 平面A1BD1. 設點A到平面A1MC的距離爲d, 是平面A1MC的法向量,又 , A點到平面A1MC的距離爲: .四、用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角座標系(利用現有三條兩兩垂直的直線,注意已有的正、直條件,相關幾何知識的綜合運用,建立右手系),用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面,把立體幾何問題轉。
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