怎麼用泰勒公式求極限,利用泰勒公式求極限,怎麼做
就是記住那五六個基本函數的展開式,遇到類似的函數極限時,如果等價無窮小和羅比達法則什麼的不好用或者較複雜時,可以考慮泰勒級數展開求極限,至於展開到幾階,一般視分子或者分母而定,如果是兩個相加或者相減函數的展開,那麼就是展開,遇到係數不爲零的那個無窮小出現爲止。
lim(x–>0){1+1/2(x^2)-(1+x^2)^(1/2)}/{(cosx-e^(x^2))sin(x^2)}
首先分子中的(1+x^2)^(1/2)這一項需要進行展開,由於分子中還有1+1/2(x^2)這一項,所以你只需要把他展開到x的4次項就可以了。這也就是我前面所講的展開到係數不爲零的那一項出現爲止
然後,由於分子等價於x^4/8,所以分母也往這個方向靠就行了。由於分母中有一個sin(x*x)等價於x^2,所以前面的cosx-e^(x^2)當然也僅需要展開到x的2次方項就可以了。
因爲cosx-------1-0.5x*x
e^x---------x
把上述等價無窮小帶入分母即可,答案應該是 -1/12
2.用泰勒公式計算極限,要過程(2) y → 0時, √(1+y) = 1+y/2-y^/8+o(y^2),因此x → 0時√(1+x^2) = 1+x^2/2-x^4/8+o(x^4),即分子√(1+x^2)-1-x^2/2 = -x^4/8+o(x^4).y → 0時, e^y = 1+y+o(y^2),因此x → 0時e^(x^2) = 1+x^2+o(x^2).又cos(x) = 1-x^2/2+o(x^2),故e^(x^2)-cos(x) = 3x^2/2+o(x^2),可得x^2·(e^(x^2)-cos(x)) = 3x^4/2+o(x^4).因此x → 0時(√(1+x^2)-1-x^2/2)/(x^2·(e^(x^2)-cos(x)))= (-x^4/8+o(x^4))/(3x^4/2+o(x^4))= (-1/8+o(1))/(3/2+o(1))→ -1/12.又x → 0時, sin(x^2)/x^2 → 1,相除即得所求極限爲-1/12.(3) 由正切差角公式, tan(arctan(x+1)-arctan(x)) = 1/(1+x+x^2),可得arctan(x+1)-arctan(x) = arctan(1/(1+x+x^2)).由y → 0時, arctan(y) = y+o(y).因此x → +∞時, arctan(1/(1+x+x^2)) = 1/(1+x+x^2)+o(1/(1+x+x^2)),x^2·arctan(1/(1+x+x^2)) = x^2/(1+x+x^2)+o(x^2/(1+x+x^2)) → 1。
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